非线性方程是什么（微分方程 ，非线性方程，几何分析科普简介）

微分方程”（differential equation）要研究的，是在极微小尺度下发生或变化的几乎一切事物，包括物理定律在内。微分方程中某些最有用也最困难的部分，称为“偏微分方程”（partial differential equation），它们所描述的是涉及多个变数的变化。借由偏微分方程，我们不但可以探究某一事物如何随着单一变数（例如时间）而变化，而且还可以探究它如何随其他变数而变化，比方说，如何在空间中沿着x，y，z轴移动。这些方程式描述预测观察系统如何演变的手段。没有微分方程，物理学将会失去精确预测的能力。

非线性方程以难解出名，原因在于这些方程所描述的状况非常复杂。非线性系统天生就比线性系统难以预测，因为初始状态下的微小改变，造成的结果可能差异极大。

因为非线性方程难解，所以通常用几何和非线性微分方程结合起来的技巧来解。当面对非线性问题时，我们尽可能援用线性理论。例如，要分析一条的曲线，我们可以在曲线上任一点，对曲线求导数以得到其切线，这基本上就是曲线在该指定点的“线性逼近”。

几何和非线性微分方程结合起来的技巧来源于几何分析。几何分析是利用分析学的方法来研究几何学，也可以用几何学来帮助研究分析学。分析学即微积分的一种高等形式。

几何分析的核心是研究曲率如何影响几何的性质。